“Ανάλυση” – Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής

Το αντικείμενο αυτού του βιβλίου είναι οι πραγματικοί αριθμοί και οι πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Αφού εκτεθούν οι βασικές ιδιότητες των (πραγματικών) αριθμών, δηλαδή η Ιδιότητα Supremum και τα πορίσματά της, εισάγονται οι έννοιες του ορίου ακολουθίας και του ορίου συνάρτησης, η έννοια της συνεχούς συνάρτησης και οι έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος. Ακολουθεί η μελέτη των σειρών αριθμών, των ακολουθιών συναρτήσεων, των σειρών συναρτήσεων και των γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Ανάμεσα στις σειρές συναρτήσεων και στα γενικευμένα ολοκληρώματα περιλαμβάνεται μια σύντομη μελέτη των μετρικών χώρων. Το βιβλίο τελειώνει με το ζήτημα της αξιωματικής θεμελίωσης των πραγματικών αριθμών.

Το επίπεδο του βιβλίου δεν είναι στοιχειώδες, διότι ασχολείται με τη βαθύτερη ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, την Ιδιότητα Supremum, και αποδεικνύει όλα τα βασικά πορίσματα της ιδιότητας αυτής. Για παράδειγμα, αποδεικνύονται η ύπαρξη ριζών των θετικών αριθμών, το θεώρημα των Bolzano – Weierstrass για ακολουθίες, τα βασικά θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις, θεμελιώνεται η έννοια του ολοκληρώματος και αποδεικνύεται η ολοκληρωσιμότητα των συνεχών συναρτήσεων.

Το επίπεδο του βιβλίου δεν είναι ούτε εύκολο: είναι αρκετά πυκνογραμμένο και απαιτεί συγκέντρωση. Οι αναγνώστες (κυρίως φοιτητές) πρέπει να δώσουν μεγάλη έμφαση στην ακριβή διατύπωση των εννοιών, στην κατανόηση και, κυρίως, στην αναπαραγωγή των αποδείξεων των κυριότερων αποτελεσμάτων και, οπωσδήποτε, στη μαθηματικά αυστηρή επίλυση θεωρητικών ασκήσεων.