“Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών”

Η Θεωρία Αριθμών, την τελευταία τριακονταετία, έχει βρεί σημαντικές εφαρμογές σε πολλούς τομείς της επιστήμης και τεχνολογίας, όπως η Κρυπτογραφία, η Θεωρία Κωδίκων, κλπ. Το βιβλίο αυτό αποτελεί μία εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών με έμφαση στην υπολογιστική της πλευρά με σκοπό να δώσει τα απαραίτητα εφόδια για την κατανόηση των σύγχρονων εφαρμογών της. Απαραίτητες γνώσεις για την μελέτη του είναι αυτές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάται η διαιρετότητα των ακεραίων, δίνεται μία στοιχειώδη εισαγωγή στους αλγόριθμους ακεραίων και αναλύεται ο εκτεταμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος.

Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο ανάπτυγμα των πραγματικών αριθμών σε συνεχές κλάσμα και στις βασικές του ιδιότητες.

Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγονται οι πρώτοι αριθμοί. Αποδεικνύεται το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, δίνονται εφαρμογές του, μελετώνται κλασσικά θεωρήματα επί της κατανομής των πρώτων αριθμών και εξετάζονται ειδικές κατηγορίες πρώτων.

Μία παρουσίαση των βασικών αλγεβρικών δομών του μονοειδούς, της ομάδας, του δακτυλίου και σώματος, καθώς επίσης και των βασικών ιδιοτήτων των πολυωνύμων δίνεται στο τέταρτο κεφάλαιο.

To πέμπτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη σχέση ισοτιμίας των ακεραίων αριθμών. Δίνονται οι βασικές ιδιότητες των ισοτιμίων, μελετάται η επίλυση των γραμμικών ισοτιμιών και των συστημάτων τους. Αποδεικνύεται σε ποιές περιπτώσεις υπάρχουν πρωτογενείς ρίζες κατά μέτρο n, εισάγονται τα σύμβολα των Legendre και Jacobi και μελετάται η επίλυση των τετραγωνικών ισοτιμιών.

Τέλος εισάγονται τα πεπερασμένα σώματα. Στο έκτο κεφάλαιο δίνονται μερικοί κλασσικοί μέθοδοι πιστοποίησης πρώτου, καθώς και ο μοναδικός αιτιοκρατικός αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου AKS. Το έβδομο κεφάλαιο διαπραγματεύεται την παραγοντοποίηση ακεραίων και περιγράφονται αλγόριθμοι για την αντιμετώπισή του. Τέλος, το όγδοο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου και δίνονται μερικοί αλγόριθμοι για την επίλυσή του.